Центральні І вписані кути



Скачати 39.04 Kb.
Дата конвертації16.02.2018
Розмір39.04 Kb.

Центральні і вписані кути

 

Означення. Центральним кутом кола називають кут з вершиною в центрі кола.

На рисунку кут AOB — центральний.

Сторони цього кута перетинають коло в точках A і B. Ці точки ділять коло на дві дуги, які виділено на рисунку різним кольором. Точки A і B називають кінцями дуги, і вони належать кожній з виділених дуг. Кожну з цих дуг можна позначити так: (читають: «дуга AB»).

Але за записом не можна розрізнити дуги на цьому рисунку.

Якщо на якійсь з двох дуг позначити точку:



то зрозуміло, що позначення відноситься до «синьої» дуги. Якщо на одній з двох дуг AB відмічено точку, то домовимося, що позначення  відноситься до дуги, якій ця точка не належить (на рисунку це «зелена» дуга).

Дуга AB належить центральному куту AOB У цьому випадку кажуть, що центральний кут AOB спирається на дугу AB.

 

Кожна дуга кола, як і все коло, має градусну міру.



Градусну міру всього кола вважають рівною 360.

Якщо центральний кут MON спирається на дугу MN :



то градусну міру дуги MN вважають рівною градусній мірі кута MON і записують (читають: «градусна міра дуги MN дорівнює градусній мірі кута MON»). Градусну міру дуги MEN  на цьому рисунку вважають рівною 360 – .

 

На рисунку зображено два перпендикулярних діаметри AB і CD:



Тоді .

Кожну з дуг ACB і ADB називають півколом.

На цьому рисунку півколами є також дуги CAD і CBD.

 

Про хорду, яка з’єднує кінці дуги, кажуть, що хорда стягує дугу.



На рисунку хорда AB стягує кожну з дуг AB і AKB:

 

Очевидно, що будь-яка хорда стягує дві дуги, сума градусних мір яких дорівнює 360.



 

Означення. Вписаним кутом кола називають кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

На рисунку кут ABC — вписаний:



Дуга AC належить цьому куту, а дуга ABC — не належить. У такому випадку кажуть, що вписаний кут ABC спирається на дугу AC. Також можна сказати, що вписаний кут ABC спирається на хорду AC.

 

Теорема 10.1. Вписаний кут вимірюється половиною градусної міри дуги, на яку він спирається.

Доведення.

На рисунку кут ABC — вписаний:



 Доведемо, що .

Розглянемо три випадки розташування центра O кола відносно вписаного кута ABC:

1) центр O належить одній із сторін кута, наприклад, BC:



2) центр O належить куту, проте не належить жодній з його сторін:



3) центр O не належить куту:



Розглянемо перший випадок. центр O належить одній із сторін кута, наприклад, BC:

На рисунку проведемо радіус AO:

 Центральний кут AOC — зовнішній кут рівнобедреного трикутника ABO (OA = OB як радіуси). Тоді . Звідси .

Розглянемо другий випадок: центр O належить куту, проте не належить жодній з його сторін:

На рисунку проведемо діаметр BK:



 Згідно з доведеним , . Маємо: .

Для третього випадку (центр O не належить куту) проведіть доведення самостійно, користуючись рисунком:





Наслідок 1. Вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні:



Наслідок 2. Вписаний кут, який спирається на діаметр (півколо) — прямий :

 

 Задача (властивість кута між дотичною і хордою).



Нехай AB — хорда кола з центром O : Через точку A проведено дотичну MN.

 Доведіть, що  і .



Розв’язання.

Проведемо діаметр AD :



Оскільки MN — дотична, то як вписаний, що спирається на діаметр AD. Тоді .

Тоді .

Маємо:


 

Приклад.

Побудуйте дотичну до даного кола, яка проходить через дану точку, що лежить поза колом.



Розв’язання.

На рисунку зображено коло з центром в точці O і точку M, яка лежить поза цим колом:



Розділимо відрізок MO навпіл. Нехай точка K — його середина. Побудуємо коло з центром у точці K радіуса KO.



Позначимо точки E і F перетину побудованого і даного кіл. Тоді кожна з прямих ME і MF є шуканою дотичною.



Дійсно, як вписаний, що спирається на діаметр MO. Відрізок OE — радіус даного кола. Тоді за властивістю дотичної пряма ME — шукана дотична.

 
Каталог: Files -> downloads
downloads -> Україна в 70-90 рр. XIX ст. Реферат
downloads -> Урок 2 Тема. Архітектура кам'яний літопис століть
downloads -> Закон України,,Про охорону навколишнього середовища ''
downloads -> Конспект уроку Національні парки Африки. Стихійні явища природи. Екологічні проблеми
downloads -> Уроках «Художньої культури»
downloads -> «Україна і Африка»
downloads -> Не згасає вогонь у розумних очах
downloads -> Наказ №257 Про затвердження програм гурткової роботи
downloads -> Різноманітність тварин у природі


Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©referatu.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка