Застосування визначеного інтеграла в геометрії



Скачати 52.37 Kb.
Дата конвертації23.06.2018
Розмір52.37 Kb.
ТипРозрахунок

Застосування визначеного інтеграла в геометрії.


  1. Обчислення площ плоских фігур.

  2. Розрахунок об’єму тіла обертання.

Використовуючи поняття визначеного інтеграла, можна обчислювати площі плоских фігур. Як відомо, визначений інтеграл від невід’ємної неперервної функції є площа відповідної криволінійної трапеції. У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла, на цьому ґрунтується його застосування для обчислення площ плоских фігур.


Розглянемо криволінійну трапецію , обмежену графіком невід’ємної, неперервної функції , , відрізком осі Ох, відрізками прямих х=а і . У цьому разі площа криволінійної трапеції, як відомо, обчислюється за формулою

(1)

Приклад 1. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями і відрізком осі Ох.

Розв’язання. Ця плоска фігура являє собою криволінійну трапецію, тому її площу обчислюють за формулою (1):


Нехай тепер функція , , - недодатна неперервна функція. У цьому разі графік цієї функції лежить під віссю Ох і



.

Розглянувши допоміжну функцію , , дістанемо, що площа криволінійної трапеції , обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюється за формулою (1), тобто



(2)

Розглянемо тепер криволінійну трапецію обмежену графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і . Оскільки графік функції симетричний графіку функції відносно осі Ох, то криволінійні трапеції і рівні. Як відомо, рівні фігури мають рівні площі, тому площу криволінійної трапеції також обчислюватимемо за формулою (2).



Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , і віссю Ох.

Розв’язання. Графік функції , лежить під віссю Ох, тому для обчислення площі даної плоскої фігури застосовуємо формулу (2):



.

Нехай тепер , , - неперервна на відрізку функція, графік якої перетинає відрізок осі Ох в скінченному числі точок. З формул (1) і (2) випливає, що площу плоскої фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюють за формулою



. (3)

Приклад 3. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої відрізком осі Ох, графіком функції , відрізками прямих і

Розв’язання. Розв’язавши рівняння , дістанемо, що графік функції на відрізку перетинає вісь Ох у точках . Отже, за формулою (3)
Розглянемо тепер фігуру , обмежену відрізками прямих і і графіками невід’ємних неперервних функцій , , і , . Оскільки фігуру можна розглядати як різницю криволінійних трапецій і , то з урахуванням формули (1) дістанемо таку формулу для обчислення площі фігури :

(4)
Приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і

Розв’язання. Розв’язавши рівняння , знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій і : і . Використовуючи формулу (4), обчислимо площу фігури:



Якщо треба обчислити площу складнішої плоскої фігури, то шукану площу намагаються виразити у вигляді алгебраїчної суми площ деяких криволінійних трапецій. Так, наприклад, площу фігури, зображеної на рисунку обчислюють за формулою



.

Нехай криві АВ, ВС і АС – відповідно графіки таких функцій: , ,



, і , . Тоді

. (5)
Приклад 5. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями , , , , і

Розв’язання. Для знаходження площі скористаємося формулою (5):



.

Розрахунок об’єму тіла обертання.

Нехай дана неперервна функція . Побудуємо криволінійну трапецію , обмежений графіком віссю Ох і двома прямими х=а і і будемо обертати її навколо своєї осі Ох. Отримане при цьому тіло називається тілом обертання.

Для обчислення об’єму цього тіла розіб’ємо інтервал на ряд частинних інтервалів точками і проведемо через ці точки площини, які перпендикулярні осі Ох. Об’єм тіла обертання також розіб’ється на ряд частинних об’ємів . Величину можна вважати приблизно рівною об’єму циліндра з висотою і радіусом основи де . Таким чином,

Об’єм тіла обертання наближено рівний сумі частинних об’ємів:



. Об’єм буде вирахуваний точніше, чим менші частинні інтервали . Вираз є інтегральна сума функції на інтервалі , границя якої при дорівнює визначеному інтегралу. В кінці маємо

, або , де


Якщо вважати, що крива обертається навколо осі Оу, то формула для знаходження об’єму тіла обертання має вигляд



, де

Приклад 1. Нехай фігура, обмежена прямими , х=4 і віссю Ох, обертається навколо осі Ох. Одержане тіло обертання – конус. Знайти його об’єм.

Розв’язання.

Межами інтегрування являються абсциси точок перетину прямих і х=4 з віссю Ох. Знаходимо системи і Отже, Далі знаходимо



Розв’яжемо цю задачу за допомогою формули знаходження об’єму кругового конуса. Маємо . Знаходимо радіус основи. З рівняння при х=4 → R=3

Висота конуса h=4. Таким чином,


Завдання для самостійної роботи


1. Зробити малюнок і обчислити площу фігури, обмежену лініями:

а) і віссю ох;

б) і .
2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ох фігури, обмеженої лініями:

а), , , ;

б);

в)






Каталог: fr
fr -> «формування правової та соціальної компетентностей в процесі викладання суспільних дисциплін» Головним завданням державного стандарту базової й повно загальної середньої освіти в галузі «Суспільствознавство»
fr -> Комп'ютерне та імітаційне моделювання
fr -> Породи овець
fr -> Комп’ютерне моделювання
fr -> Породи І кроси
fr -> Державна митна служба
fr -> Засоби автоматизації з текстовим процесом
fr -> Реферат на тему: Світове господарство в міжнародних економічних
fr -> Укладач: Федченко С. Г., методист Центру аналізу та прогнозування розвитку освіти


Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©referatu.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка